tan 和 sec 最核心的关系是平方恒等式，也就是 1 加上 tan 平方 x 等于 sec 平方 x，这个是同角三角函数最重要的公式之一，sec 叫做正割，定义是 1 除以 cosx，tan 是 sinx 除以 cosx，这个平方恒等式就是由基础平方关系 sin 平方 x 加 cos 平方 x 等于 1 推导出来，两边同时除以 cos 平方 x 之后，就得到 tan 和 sec 的这个核心关系式，在三角恒等变换 积分换元 三角代换题型里面，tan 和 sec 这组公式使用频率非常高，尤其是微积分里面三角代换经常依靠 tan 和 sec 的这个平方关系消去根号，做题的时候还要注意定义域，cosx 不能等于 0，也就是 x 不等于 90 度加 k 乘 180 度，在这个区间里面 tan 和 sec 同时有定义，很多同学容易把 tan 和 sec 的平方公式符号记错，把加号写成减号，这个是考试最常见的失分点。
基础定义
tanx = sinx ÷ cosx
secx = 1 ÷ cosx
从定义就能看出，tan 和 sec 都是建立在 cosx 之上，分母都是 cosx，这也是 tan 和 sec 可以互相推导恒等式的根本原因。
核心平方恒等式推导
原始同角平方公式 sin²x + cos²x = 1
等式两边同时除以 cos²x
sin²x ÷ cos²x + cos²x ÷ cos²x = 1 ÷ cos²x
化简之后 tan²x + 1 = sec²x
也就是 1 + tan²x = sec²x
公式变形形式
tan²x = sec²x - 1
sec²x - tan²x = 1
这两个是核心公式的逆向变形，已知 sec 的值可以求 tan，已知 tan 的值可以求 sec，但是一定要结合角所在象限判断正负号。
配套其他关联公式
secx = 1 /cosx
tanx = sinx /cosx
所以 tanx = sinx × secx
这个是乘积形式的 tan 和 sec 关系，化简式子的时候经常用来替换。
对照表
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 核心恒等式 | 1+tan²x=sec²x |
| 变形 1 | tan²x=sec²x-1 |
| 变形 2 | sec²x-tan²x=1 |
| 乘积关系 | tanx=sinx×secx |
| 定义域 | cosx≠0 |
解题应用步骤
第一步，确认角度所在象限，确定 tan 和 sec 的正负符号。
第二步，看到根号下 sec 平方减 1，直接替换成 tan 平方，去掉根号。
第三步，已知 tan 数值，代入 1+tan²x=sec²x，算出 sec 平方，再开方确定 sec 正负。
第四步，已知 sec 数值，利用 sec²x 减 1 得到 tan 平方，开方求出 tan。
第五步，积分三角代换题型，利用 tan 和 sec 平方关系完成根式化简。
高频易错点
第一误区，把公式写成 1 减 tan 平方等于 sec 平方，符号写反，正确是加号。
第二误区，开平方的时候忽略象限，直接取正数，第二象限 sec 是负数，tan 也是负数，正负判断错误。
第三误区，混淆 sec 和 csc，sec 是 1 除以 cos，csc 是 1 除以 sin，不要和 tan 对应的恒等式弄混。
第四误区，忽略定义域，当 cos 等于 0 的时候，tan 和 sec 都没有意义，不能套用这个恒等式。
【常见问题】
问题 1 tan 和 sec 关系的核心公式是什么
回答 1 tan 和 sec 关系的核心公式是 1 加上 tan 平方 x 等于 sec 平方 x，这个 tan 和 sec 关系公式由 sin 平方加 cos 平方等于 1 推导得到。
问题 2 tan 和 sec 关系可以用来做三角代换吗
回答 2 tan 和 sec 关系可以用于三角代换，tan 和 sec 关系里面 sec 平方减 1 等于 tan 平方，能够把带根号的式子化简，是微积分常用技巧。
问题 3 tan 和 sec 关系开平方的时候要注意什么
回答 3 tan 和 sec 关系开平方的时候，tan 和 sec 关系需要根据象限判断正负，不能全部默认取正数，这是 tan 和 sec 关系做题高频错误。
问题 4 tan 和 sec 关系还有乘积形式吗
回答 4 tan 和 sec 关系除了平方恒等式，还有乘积形式 tanx 等于 sinx 乘以 secx，这个 tan 和 sec 关系是根据两个函数基础定义推导出来。
【免责申明】
本内容为中学与高等数学三角函数学习参考资料，tan 和 sec 关系仅收录高频恒等式，高阶复合三角变换没有全部展开，正式做题请结合象限与定义域判断符号，本资料不覆盖全部竞赛拓展题型。