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正三棱锥外接球半径怎么求(正三棱锥外接球半径)

导读 正三棱锥的外接球半径求法:设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。设高为AM,连接DM交BC于E...

正三棱锥的外接球半径求法:设A-BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。

设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O,则0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半径。

(当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时,即角DAE小于90度时,球心在棱锥的内部;当线面角等于90度时,球心恰好在底面正三角形的中心M上;当线面角大于90度时,球心在棱锥的外部,在棱锥高AM的延长线。

下面我给出的解法是第一种情况,球心在棱锥的内部。

另两种情况你自己可以照理推出。

)设AO=DO=R则,DM=2/3DE=2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3AM=根号(a^2-b^2/3),OM=AM-A0=根号(a^2-b^2/3)-R由DO^2=OM^2+DM^2得,R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)2、内接球半径同样是这个三棱锥。

内接球的球心也一定在这个三棱锥的高上。

设高为AM,连接DM交BC于E,连接AE,然后在面ADE内做角AED的平分线交三棱锥的高AM于O,做OF垂直于AE,则0就是内接球的球心,OM=OF=rAE=根号(a^2-b^2/4)FE=ME=1/3AM=6分之根号3倍的b,AF=AE-FE=根号(a^2-b^2/4)-6分之根号3倍的bAO=AM-r=根号(a^2-b^2/3)-r由AO^2=OF^2+AF^2得r=[根号3倍b^2+3b倍根号(4a^2-b^2)]/12倍根号(3a^2-b^2)。

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